Vede a sughjente di Cusinu

[[File:Trigonometric functions 1.png|thumb|upright=2|Datu un [[triangulu rittangulu]], u cusinu d'un [[angulu acutu]] hè difinitu com'è u [[rapportu]] trà i lunghezzi di u [[catetu]] aghjacenti à l'angulu è di l'[[iputenusa]]]]
In [[matematica]], in particulari in [[trigunumitria]], datu un [[triangulu rittangulu]], u '''cusinu''' di unu di i dui [[angulu|anguli]] interni aghjacenti à l'[[iputenusa]] hè difinitu com'è u [[rapportu]] trà i lunghezzi di u [[catetu]] aghjacenti à l'angulu è di l'[[iputenusa]]. 

Di manera generali, u cusinu d'un angulu <math>\alpha</math>, aspressu in [[Gradu d'arcu|gradi]] o [[Radianti|radianti]], hè una quantità chì dipendi solu da <math>\alpha</math>, custruita usendu a [[circumfarenza unitaria]].

Difiniscendu com'è <math>\cos(x)</math> u valori di u cusinu in l'angulu <math>x</math>, s'otteni a '''funzioni cusinu''', una [[funzioni trigunumetrica]] di fundamintali impurtanza in l'[[analisa matematica]].

== Difinizioni ==
[[File:Sinxoverx.png|right|300px]]
In u triangulu rossu nantu à a figura, u '''cusinu''' di ''x'' hè datu da:
<math>\cos{x} = \overline{OC} </math>
Più in generali, si difinisci u cusinu pigliendu una [[circumfarenza]] di [[Raghju (giumitria)|raghju]] unitariu è una [[mezaretta]] chì esci da l'urighjina chì forma un angulu <math>x</math> incù l'assu di l'ascissi com'è nantu à a figura. U cusinu di l'angulu <math>x</math> hè difinitu cusì com'è u valori di a 
[[Sistemu di rifirimentu|cuurdinata]] <math>x</math> di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u [[sigmentu]] <math>OC</math>). 

A tavuledda siguenti esponni i principali valori nutevuli assunti da a funzioni cusinu:
{| class="wikitable" border=1
|- bgcolor="white" align="center" 
|width="100px"|<math>x</math> in [[Radianti|radianti]]
|width="50px"|0
|width="50px"|<math>\frac \pi 6</math>
|width="50px"|<math>\frac \pi 4</math>
|width="50px"|<math>\frac \pi 3</math>
|width="50px"|<math>\frac \pi 2</math>
|width="50px"|<math>\pi </math>
|width="50px"|<math>\frac {3\pi} 2</math>
|width="50px"|<math>2 \pi </math>
|- bgcolor="white" align="center"
|<math>x</math> in [[gradu d'arcu|gradi]]||0°||30°||45°||60°||90°||180°||270°||360°
|- bgcolor="white" align="center"
|<math>\cos(x)</math> ||1|| <math>\frac {\sqrt 3} 2</math> || <math>\frac {\sqrt 2} 2</math> || 
<math>\frac 1 2</math> || 0 || -1 || 0 || 1
|}

Esisti un'antra difinizioni di cusinu in rilazioni à i rutazioni: u cusinu d'un angulu <math>x</math> hè u cumpunenti longu l'assu di l'ascissi di u virsori <math>i</math>, virsori di l'assu <math>x</math>, ghjiratu di <math>x</math>.

== Funzioni cusinu ==
A '''funzioni cusinu''' hè difinita assucendu à <math>x</math> u cusinu di l'angulu <math>x</math> (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù <math>f(x) = \cos{x} </math>. Apposta ch'è <math>x</math> è <math>x + 2k\pi</math> difiniscini u stessu angulu par qualsiasi <math>k</math> [[Numaru intreiu|intreiu]], a funzioni cusinu hè una [[funzioni piriodica]] di periodu <math>2\pi</math> (induva <math>2\pi</math> hè l'[[angulu ghjiru]]). A curva di u graficu di sta funzioni hè dinuminata '''[[Onda sinusuidali|cusinusoidi]]'''. L'insemu di variabilità di a funzioni cusinu hè <math>[-1,1]</math>, veni à dì applichendu 'ssa funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà <math>-1</math> è <math>1</math>, estremi inclusi.
[[File:Cos proportional.svg|left|thumb|upright=3.2|Ripprisintazioni grafica d'una cusinusoidi.]]
<br clear="all" />

== Cusinu è sinu ==
[[File:Unit circle angles color.svg|thumb|upright=1.8|Valori principali (cusinu, sinu)]]
Trà [[sinu]] è cusinu esisti a rilazioni fundamintali, ditta ''equazioni fundamintali di a trigunumitria'', o ''unità guniumetrica'':
:<math>\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} = 1,</math>
chì hè cunsiquenza di u [[tiurema di Pitagora]].

== Prubità analitichi di u cusinu ==
A [[dirivata]] di a funzioni cusinu hè l'oppostu di a funzioni sinu. T'avemu dunqua:
<math>(\cos x)^{\prime}=-\sin x.</math>

Quissa pò essa dimustrata applichendu una formula di [[Formuli di prostaferesi|prustaferesi]] par calculà a limita di u [[rapportu incrimintali]] di u cusinu:
:<math>\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{-2 \sin \frac{2x+h}{2}\sin \frac{h}{2}}{h} = -\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\sin\left(x+\frac{h}{2}\right) \underset{h \rightarrow 0}{\longrightarrow} -\sin x</math><ref>L'ultimu passaghju faci usu di u [[limita nutevuli]]:

:<math>\lim_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1,</math>

chì si pò dimustrà giumitricamenti.</ref>.

A [[dirivata siconda]] di u cusinu hè a funzioni stessa cambiata di segnu:

:<math>(\cos x)^{\prime \prime} = -\cos x,</math>

par via di cunsiquenza, a funzioni cusinu com'è a funzioni [[sinu]]) risolvi l'[[equazioni diffarinziali]]

:<math>y^{\prime\prime}+y=0</math>,

chì discrivi u motu d'un [[uscillatori armonicu]] ideali libaru.

A funzioni cusinu hè una funzioni à dirivati equilimitati (s'hà infatti <math>|y^{(k)}| \le 1</math> per ogni <math>k</math>), ed hè par via di cunsiquenza [[funzioni analitica|analitica]]; a so espansioni in [[seria di Taylor]] hè:
<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots </math> <math> = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}</math>

par ogni <math>x</math> riali.

In [[analisa matematica]] 'ss'ugualità hè à spessu usata par difiniscia u cusinu. Listessa seria difinisci u cusinu com'è [[funzioni olumorfa]] annantu à tuttu u [[pianu cumplessu]].

== Equazioni fundamintali rilativi à u cusinu ==

Vali a siguenti formula d'''addizioni'' (è ''suttrazzioni'') ''d'archi'':

:<math>\cos(x\pm y) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y,</math>

è in particulari a ''formula di duplicazioni''

:<math>\cos{(2x)} = \cos^2x - \sin^2x = 1 - 2\sin^2x = 2\cos^2x - 1.</math>

I siguenti sò i [[furmuli di prustaferesi]] rilativi à u cusinu:

:<math>\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}},</math>

:<math>\cos{x} - \cos{y} = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}.</math>

Vali ancu a catena di disugualità:

:<math>0 < x\cos x < \sin x < x \quad \text{ par } \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}.</math>

[[File:Sinxtanx.jpg|right|500 px]]
Si cunsidareghja a circumfarenza unitaria, è sii <math>0 < x < \pi/2 </math>, com'è nantu à a figura.

Si tracci a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu <math>x</math> (antiurariu) rispettu à u mezassu pusitivu di l'ascissi. Tandu i cuurdinati di u puntu d'intarsizioni <math>P</math> di a mezaretta incù a circumfarenza sò <math>(\cos x, \sin x)</math>. Si traccia u sigmentu chì unisci <math>P</math> à u puntu <math>A=(1,0)</math>. Sii inoltri <math>T</math> u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a retta d'ascissa <math>1</math> (assu di i tangenti). <math>T</math> hà cuurdinati <math>(1, \tan x)</math>.

Si nota ch'è u triangulu <math>POA</math> hè strittamenti rinchjusu in u sittori circulari <math>POA</math>, u quali hè rinchjusu strittamenti in u triangulu <math>TOA</math>. Vali tandu a disugualità di i rispittivi arii (si ricorda ch'è <math>x</math> hè l'angulu, aspressu in [[radianti]]):

:<math>0 < \frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\frac{\sin x}{\cos x},</math>

veni à dì

:<math>0 < \sin x < x < \frac{\sin x}{\cos x}.</math>

Da a prima parti di a disugualità si ricava ch'è <math> 0 < \sin x < x </math>, mentri cunsidarendu a siconda, dividendu veni à dì par <math>\sin x</math> (ciò chì hè pussibuli parchì <math> \sin x > 0 </math>), s'utteni:

:<math> 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x},</math>

veni à dì

:<math> \sin x \cos x < x \cos x < \sin x,</math>

induva à a fini s'hè multiplicatu par <math>\sin x</math> è par <math>\cos x</math>, ciò chì priserva u versu di a disugualità parchì sò tremindù pusitivi. Ricapitulendu i risultati, 

<math> 0 < x \cos x < \sin x < x.</math>

[[Com'eddu ci vulia à dimustrà|Q.E.D.]].

}}

Esisti ancu una'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni cusinu à a funzioni [[tangenti (matematica)|tangenti]]:

:<math>\cos{x} = \frac{1-\tau^2}{1+\tau^2} \quad \text{ incù }\quad \tau = \tan\frac{x}{2}
</math><ref>Infatti s'hà, in virtù di l'[[#Equazioni fundamintali rilativi à u cusinu|unità guniumetrica]] è dividendu par <math>\cos{x}</math> (affinch'è ùn fussi micca nullu), l'idantità

:<math>\cos{(2x)}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=\frac{\cos^2{x}-\sin^2{x}}{\cos^2{x}+\sin^2{x}}=\frac{1-\tan^2
{x}}{1+\tan^2{x}}</math>.</ref>.

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'[[equazioni trigunumetrica|equazioni guniumetrichi]] in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un [[sinu]] sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u sinu, ciò chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni incù a scunnisciuta <math>\tau</math>. Di listessa manera, si pò sfruttà sta rilazioni par u calculu di i [[primitiva (matematica)|primitivi]] di funzioni guniumetrichi.

== Difinizioni currilati ==
* U [[reciprocu]] di u cusinu (difinitu induva u cusinu hè diffarenti da zeru) hè a [[secanti (trigunumitria)|secanti]]:
::<math>\sec x =\frac 1{\cos x}.</math>
* A funzioni cusinu hè [[Funzioni iniettiva|iniettiva]] nantu à l'[[intarvallu (matematicu)|intarvallu]] <math>[0,\pi]</math> è hà dunqua una [[Funzioni inversa|inversa]], chjamata [[arcucusinu]] (indicatu incù <math>\arccos</math> o incù <math>\cos^{-1}</math> chì ripiglia a nutazioni di a [[funzioni inversa]]).

== Urighjina di u nomu ==
U terminu ''cusinu'' stà par "''cumplimintariu di u sinu''". Infatti, par anguli trà <math>0</math> è <math>\pi/2</math>, u cusinu d'un [[angulu]] hè u [[sinu (trigunumitria)|sinu]] di l'[[angulu cumplimintariu]], veni à dì :<math>\cos{x} = \sin\left(\frac{\pi}{2} \pm x\right).</math>
sta rilazioni, chì si ricava da i furmuli di somma d'archi, hè valida par ogni <math> x </math>; eppuri a nuzioni giumetrica d'[[angulu cumplimintariu]] s'applicheghja solu l'anguli pusitivi, è dunqua cumpresi trà <math>0</math> è <math> \pi/2 </math>.

== Noti ==
<references />

== Da veda dinò ==
* [[Sinu]]
* [[Leghji di u cusinu]]
* [[Cusinusoidi]]
* [[Funzioni trigunumetrica]]
* [[Tangenti (matematica)]]
* [[Arcucusinu]]
* [[Circumfarenza guniumetrica]]
* [[Formula di Eulero]]
* [[Formuli di duplicazioni]]
* [[Formuli di bisizzioni]]
* [[Formuli di prustaferesi]]
* [[Formuli di Werner]]
* [[Funzioni piriodica]]
* [[Funzioni altirnata]]
* [[Cusinu iperbolicu]]

[[Category:Trigunumitria]]

==Fonti==
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.